なんとも腹立たしい事故です。受付スタッフが自分で仕上げをするわけじゃないでしょうから[彼/彼女]の落ち度とは思えませんが、アイロン職は絞りの扱いについて、いちいち言われなくても心得ておかねばならないことです。

テンションをかけず蒸気を与えれば、少しは戻るかも知れませんが、期待薄です。益して完全に元通りにすることは無理です。

スチーマーや浮かせアイロン（スチームアイロンを生地に当てず蒸気だけを当てる）を試してみてください。それである程度戻るようであり、妥協できると思われるなら、その時点で弊社でお預かりしてもいいですし、ご自身でやれるだけやってみられてもいいでしょう。その結果仕立てがぐにゃぐにゃになってしまうかもわかりませんが、その整理だけでも承ります。

拝見しないことにはなんとも言えませんが、そんなに広範囲に傷になっているのですか。
そうなるとさすがにプロでも手に負えません。

直せないとなると、どうごまかすかという方向に思案をしますが、誰でも真っ先に思いつくのは金加工でしょうね。金（または銀）がチラチラと光るところを以って生地の傷を目立たなくしようという作戦です。
ただ、金加工は技術以上にセンスが問われるもので、傷が隠れさえすればいいというものではありません。位置、大きさ、バランス等よく鑑みて、おかしくないように調えなければ不格好で着られません。透け感のある羽織ということであれば、金（または銀）は似つかわしくないかも知れませんね。

自分で直せます。細い縫い針を用意します。
タオル地のように輪になって出ていますか。それとも糸が切れて先端が出ていますか。

輪になってるなら針先で糸をずらしていくことで直します。

切れているなら、キズの近く、適当な深さまで針を刺し、糸の先を通します。それを裏に引き抜けば糸の先は裏に落とせます。切れた糸を繋ぎ直すことはできないので、それが精一杯の対処です。